Mathematisches Problemlösen

Herbert Ausflüge

Die üblichen Schritte zur Lösung eines Problems mittels mathematischer Methoden:

  1. Umformen der textlichen Problembeschreibung in ein Modell
  2. Umformen des Modells in eine zur Berechnung günstigen Form
  3. Berechnen
  4. Interpretation der Ergebnisse.

Mathematiker testen ihr Modell nicht gerne an einer Vielzahl von Fällen. Sie wollen wissen, ob ein Modell für alle Fälle gilt. Deshalb suchen sie den Beweis. Konstruktive Beweise stellen selbst Lösungswege dar.

Im ersten schritt ist das Ziel: eine Beschreibung in der (symbolischen) Sprache der Mathematik. Im zweiten Schritt strebt die Axiomatische Mathematik geschlossene Formeln an. Aber das gelingt meist nur in eingeschränkten Welten. Es werden deshalb Näherungen gesucht. Numerische Schemata. Diese Algorithmische Mathematik sucht nach Lösungen, welche den notwendigen Aufwand und Ressourcenverbrauch minimieren. Ein weit verbreiteter Ansatz ist etwa die Annäherung von so genannten Partiellen Differentialgleichungen (PDE) durch „riesige“ lineare Gleichungssysteme. Eine bestimmte Kombination der beiden prinzipiellen Ansätze wird auch Asymptotische Mathematik genannt.

Ich bevorzuge Computermathematik – die flexible Kombination von symbolischer und numerischer Mathematik am Computer.

Die Bewertung einfacher Optionen erfolgt zum Beispiel auf der Grundlage von geschlossenen Formeln. Sie sind als Spielregel bestens geeignet. Aber die Optionswelt ist kompliziert und allgemeine Preisgleichungen können nur numerisch gelöst werden. Das wiederum wird problematisch, wenn für eine Entscheidung Millionen von Preisvarianten in Sekunden gerechnet werden müssen.

Ich erwähne das hier, weil viele Modelle für das Verhalten von Gesamtökonomien ähnlich komplex sind.